実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi)=(1-ai)(-3-i)$ を満たすとき、$a, b$ の値の組を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi)=(1-ai)(-3-i)$ を満たすとき、$a, b$ の値の組を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を展開する。

左辺:

$(1+ai)(1+bi) = 1 + bi + ai + abi^2 = 1 + (a+b)i - ab = (1-ab) + (a+b)i$

右辺:

$(1-ai)(-3-i) = -3 - i + 3ai + ai^2 = -3 - i + 3ai - a = (-3-a) + (3a-1)i$

したがって、

$(1-ab) + (a+b)i = (-3-a) + (3a-1)i$

複素数の相等より、実部と虚部がそれぞれ等しいので、次の連立方程式を得る。

$1-ab = -3-a$

$a+b = 3a-1$

これらの式を整理する。

$ab - a = 4$ (1)

$2a - b = 1$ (2)

(2)式より $b = 2a - 1$

これを(1)に代入する。

$a(2a-1) - a = 4$

$2a^2 - a - a = 4$

$2a^2 - 2a - 4 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

よって、$a=2$ または $a=-1$

$a=2$のとき、$b = 2(2)-1 = 3$

$a=-1$のとき、$b = 2(-1)-1 = -3$

したがって、$(a,b)=(2, 3), (-1, -3)$

3. 最終的な答え

$(a,b) = (2, 3), (-1, -3)$