与えられた方程式を解く問題です。方程式は次の通りです。 $3x^2 - xy = 2y^2 + 6x - 5y + 3$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解く問題です。方程式は次の通りです。

$3x^2 - xy = 2y^2 + 6x - 5y + 3$

2. 解き方の手順

まず、すべてを左辺に移動して整理します。

$3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3 = 0$

次に、$x$ について整理します。

$3x^2 - (y + 6)x + (5y - 2y^2 - 3) = 0$

これは $x$ に関する二次方程式と見なせるので、解の公式を用いて $x$ を $y$ で表します。解の公式は $ax^2+bx+c=0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

今回の場合は、$a=3$, $b=-(y+6)$, $c=(5y-2y^2-3)$ です。

$x = \frac{(y + 6) \pm \sqrt{(y+6)^2 - 4(3)(5y - 2y^2 - 3)}}{2(3)}$

$x = \frac{(y + 6) \pm \sqrt{y^2 + 12y + 36 - 12(5y - 2y^2 - 3)}}{6}$

$x = \frac{(y + 6) \pm \sqrt{y^2 + 12y + 36 - 60y + 24y^2 + 36}}{6}$

$x = \frac{(y + 6) \pm \sqrt{25y^2 - 48y + 72}}{6}$

$25y^2 - 48y + 72$ が平方数になる必要があるので、判別式を計算します。$D = (-48)^2 - 4(25)(72) = 2304 - 7200 = -4896 < 0$ なので実数の範囲では平方数になり得ません。

そこで、$3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3 = 0$ を因数分解できないか試してみます。

$(3x + ay + c)(x + by + d) = 3x^2 + (3b + a)xy + aby^2 + (3d + c)x + (ad + bc)y + cd = 3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3$

$ab = -2$

$3b + a = -1$

$3d + c = -6$

$ad + bc = 5$

$cd = -3$

$a = -1 - 3b$

$(-1-3b)b = -2 \implies -b - 3b^2 = -2 \implies 3b^2 + b - 2 = 0 \implies (3b - 2)(b+1) = 0$

$b = \frac{2}{3}, -1$

もし $b = \frac{2}{3}$ なら $a = -1 - 3(\frac{2}{3}) = -3$

もし $b = -1$ なら $a = -1 - 3(-1) = 2$

$a=2, b=-1$ の場合

$(3x + 2y + c)(x - y + d) = 3x^2 - xy - 2y^2 + (3d + c)x + (2d - c)y + cd = 3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3$

$3d + c = -6$

$2d - c = 5$

$cd = -3$

足すと $5d = -1 \implies d = -\frac{1}{5}$

$c = 5 - 2d = 5 - 2(-\frac{1}{5}) = 5 + \frac{2}{5} = \frac{27}{5}$

$cd = -\frac{27}{25} \ne -3$

$a=-3, b=\frac{2}{3}$ の場合

$(3x - 3y + c)(x + \frac{2}{3}y + d) = 3x^2 + 2xy - 3xy - 2y^2 + (3d + c)x + (-3d + \frac{2}{3}c)y + cd = 3x^2 - xy - 2y^2 + (3d + c)x + (-3d + \frac{2}{3}c)y + cd = 3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3$

$3d + c = -6$

$-3d + \frac{2}{3}c = 5$

$cd = -3$

$c = -6 - 3d$

$-3d + \frac{2}{3}(-6-3d) = 5$

$-3d -4 -2d = 5 \implies -5d = 9 \implies d = -\frac{9}{5}$

$c = -6 - 3(-\frac{9}{5}) = -6 + \frac{27}{5} = \frac{-30+27}{5} = -\frac{3}{5}$

$cd = (-\frac{3}{5})(-\frac{9}{5}) = \frac{27}{25} \ne -3$

したがって、綺麗な因数分解はできないようです。

3. 最終的な答え

$x = \frac{(y + 6) \pm \sqrt{25y^2 - 48y + 72}}{6}$

または、方程式 $3x^2 - xy - 2y^2 - 6x + 5y - 3 = 0$ のまま。