2次関数 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような、定数 $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような、定数 $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D$ が $D > 0$ となることです。

与えられた2次関数 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ の判別式 $D$ は、

$D = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - 3a)$

となります。

これを整理すると、

$D = a^2 - 4a^2 + 12a$

$D = -3a^2 + 12a$

グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるには $D > 0$ でなければならないので、

$-3a^2 + 12a > 0$

$-3a(a - 4) > 0$

$3a(a - 4) < 0$

$a(a - 4) < 0$

したがって、$0 < a < 4$

3. 最終的な答え

$0 < a < 4$