全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$ の部分集合 $A, B$ について、 $A \cap B = \{3, 6, 8\}$, $A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$, $\overline{A} \cap B = \{4, 5, 7\}$ であるとき、集合 $A, B, A \cup B$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$ の部分集合 $A, B$ について、

$A \cap B = \{3, 6, 8\}$,

$A \cap \overline{B} = \{1, 10\}$,

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 7\}$

であるとき、集合 $A, B, A \cup B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ を求める。

$A$ は、$A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ の和集合であるから、

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

$B$ は、$A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ の和集合であるから、

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$

次に、$A \cup B$ を求める。

$A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$

また、$A \cup B = A \cup B$ である。

$A = \{3, 6, 8\} \cup \{1, 10\} = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 8\} \cup \{4, 5, 7\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A \cup B = \{1, 3, 6, 8, 10\} \cup \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$

3. 最終的な答え

$A = \{1, 3, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}$