(1) 地上から真上に投げ上げた小石の $t$ 秒後の高さが $y = -5t^2 + 20t$ で表されるとき、小石が最高点に達するのは投げてから何秒後か、また、その時の高さはいくらか。 (2) 直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において、斜辺の長さが最小となるときの直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 地上から真上に投げ上げた小石の $t$ 秒後の高さが $y = -5t^2 + 20t$ で表されるとき、小石が最高点に達するのは投げてから何秒後か、また、その時の高さはいくらか。

(2) 直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において、斜辺の長さが最小となるときの直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

小石の高さ $y$ を平方完成する。

$y = -5t^2 + 20t = -5(t^2 - 4t) = -5((t-2)^2 - 4) = -5(t-2)^2 + 20$

この式から、$t=2$ の時に高さ $y$ が最大値20をとることがわかる。

よって、小石が最高点に達するのは投げてから2秒後で、その時の高さは20mである。

(2)

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ と $y$ とすると、$x+y=20$である。

斜辺の長さを $z$ とすると、ピタゴラスの定理より、$z^2 = x^2 + y^2$。

$y = 20 - x$ より、$z^2 = x^2 + (20-x)^2 = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400 = 2(x^2 - 20x) + 400 = 2((x-10)^2 - 100) + 400 = 2(x-10)^2 + 200$

$z^2$ が最小となるのは $x=10$ の時である。この時、$y=20-x=20-10=10$

したがって、直角を挟む2辺の長さがそれぞれ10である直角三角形の時、斜辺の長さは最小になる。

この時、$z^2 = 10^2 + 10^2 = 100+100=200$ より、$z = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

斜辺の長さは $10\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最高点に達するのは2秒後、高さは20m。

(2) 直角を挟む2辺の長さがそれぞれ10の直角三角形、斜辺の長さは $10\sqrt{2}$。