問題は、$x, y$が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$3x^2 + 2xy + y^2$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$x, y$が $x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$3x^2 + 2xy + y^2$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ とおきます。これにより、$x^2 + y^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を満たすことが保証されます。

次に、与えられた式に代入します。

$3x^2 + 2xy + y^2 = 3\cos^2\theta + 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta$

$= 2\cos^2\theta + (\cos^2\theta + \sin^2\theta) + 2\cos\theta\sin\theta$

$= 2\cos^2\theta + 1 + \sin(2\theta)$

$= 2 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} + 1 + \sin(2\theta)$

$= 1 + \cos(2\theta) + 1 + \sin(2\theta)$

$= 2 + \cos(2\theta) + \sin(2\theta)$

ここで、$f(\theta) = \cos(2\theta) + \sin(2\theta)$ とおくと、

$f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\theta) \right)$

$f(\theta) = \sqrt{2} \left( \sin(\frac{\pi}{4})\cos(2\theta) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(2\theta) \right)$

$f(\theta) = \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$

したがって、$3x^2 + 2xy + y^2 = 2 + \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ となります。

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-1 \le \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} \le 2 + \sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le 2 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $2 + \sqrt{2}$

最小値: $2 - \sqrt{2}$