$x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$3x^2 + 2xy$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 1$ を満たすとき、$3x^2 + 2xy$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$ とおくと、

$3x^2 + 2xy = 3 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta$

$= 3 \cos^2 \theta + \sin 2\theta$

$= 3 \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} + \sin 2\theta$

$= \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2\theta + \sin 2\theta$

ここで、$f(\theta) = \frac{3}{2} \cos 2\theta + \sin 2\theta$ とすると、$f(\theta)$ は三角関数の合成で表現できます。

$f(\theta) = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 1^2} \sin(2\theta + \alpha) = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} \sin(2\theta + \alpha) = \sqrt{\frac{13}{4}} \sin(2\theta + \alpha) = \frac{\sqrt{13}}{2} \sin(2\theta + \alpha)$

ここで、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{13/4}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\sin \alpha = \frac{3/2}{\sqrt{13/4}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ を満たす角です。

したがって、$3x^2 + 2xy = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \sin(2\theta + \alpha)$

$\sin(2\theta + \alpha)$ の最大値は $1$ で、最小値は $-1$ なので、

$3x^2 + 2xy$ の最大値は $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$

$3x^2 + 2xy$ の最小値は $\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

最小値: $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$