与えられた二重根号 $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ を外して、簡単な形にすることを求められています。

1. 問題の内容

与えられた二重根号 $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ を外して、簡単な形にすることを求められています。

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a + \sqrt{b}}$ を外すためには、$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ となるような $x$ と $y$ を見つけることを目指します。

このとき、$x + y = a$ かつ $4xy = b$ を満たす必要があります。

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

したがって、$\sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$ となります。

ここで、$a = 7$ および $b = 24$ となります。

$x + y = 7$ かつ $xy = 6$ を満たす $x$ と $y$ を見つけます。

この場合、$x = 6$ と $y = 1$ が条件を満たします。

$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{6} + \sqrt{1}$ となるため、

$\sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{6} + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{6} + 1$