与えられた3つの式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 二重根号を外す。$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ を利用する。

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形にすると、 $a+b=7$, $ab=10$ となる。$a=5, b=2$ とすると条件を満たす。

よって $\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) 二重根号を外す。$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ を利用する。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$12-2\sqrt{27}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形にすると、$a+b=12$, $ab=27$ となる。$a=9, b=3$ とすると条件を満たす。

よって $\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3}$

(3) 二重根号を外す。$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{2a+2\sqrt{b}}{2}} = \frac{\sqrt{2a+2\sqrt{b}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2a+2\sqrt{b}} \cdot \sqrt{2}}{2}$ を利用する。

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形にすると、$a+b=4$, $ab=3$ となる。$a=3, b=1$ とすると条件を満たす。

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2\sqrt{3 \cdot 1}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

よって $\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$