(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。 (2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を展開し、整理する。

$(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2$

$(ad-bc)^2 = a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2$

したがって、

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2) = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求める。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ より、

$1^2 + (ad-bc)^2 = 1 \times 1 = 1$

$(ad-bc)^2 = 1 - 1 = 0$

したがって、$ad-bc = 0$

$a^2+b^2=1$

$c^2+d^2=1$

$ac+bd=1$

$ad-bc=0$

これらから$a^2+d^2$と$b^2+c^2$を求める。

$a^2+d^2 = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) - (b^2+c^2) = 2-(b^2+c^2)$

$(a+d)^2 = a^2+2ad+d^2$, $(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$

$(a-d)^2 = a^2-2ad+d^2$, $(b-c)^2 = b^2-2bc+c^2$

$a^2+d^2+b^2+c^2 = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) = 1+1=2$

$2 = a^2+d^2+b^2+c^2$

$ad=bc$より、

$(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2 = 0$

$ad = bc$ を $ac+bd=1$ に代入すると、$ac + ad = 1$

$a^2+b^2=1, c^2+d^2=1$であることから、$a = \cos\theta, b = \sin\theta$, $c = \cos\phi, d = \sin\phi$と表すことができる。

$ac+bd = \cos\theta \cos\phi + \sin\theta \sin\phi = \cos(\theta - \phi) = 1$

$\theta - \phi = 0$, $\theta = \phi$

$ad-bc = \cos\theta \sin\phi - \sin\theta \cos\phi = \sin(\phi - \theta) = \sin(0) = 0$

したがって、$\theta = \phi$

$a^2+d^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

$b^2+c^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

3. 最終的な答え

(1) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $ad-bc = 0$, $a^2+d^2 = 1$, $b^2+c^2 = 1$