(1) 式 $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。 (2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 式 $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を展開して整理する。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$

$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ である。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ を利用する。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$1^2 + (ad-bc)^2 = 1 \cdot 1$

$1 + (ad-bc)^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = 0$

$ad-bc = 0$

また、$a^2+b^2 = 1$, $c^2+d^2 = 1$, $ac+bd=1$, $ad-bc = 0$ である。

$a^2+d^2$ と $b^2+c^2$ を求める。

$a^2+b^2+c^2+d^2=2$ である。

$(a+d)^2 = a^2+2ad+d^2$

$(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$

$(a-d)^2 = a^2-2ad+d^2$

$(b-c)^2 = b^2-2bc+c^2$

$(a^2+d^2) + (b^2+c^2) = 2$

$ac+bd=1$, $ad-bc=0$ より、

$c = \frac{ad}{b}$

$a(\frac{ad}{b}) + bd = 1$

$a^2d + b^2d = b$

$d(a^2+b^2) = b$

$d = b$

$c = \frac{ad}{b} = \frac{ab}{b} = a$

$c = a$

$a^2+d^2 = a^2+b^2 = 1$

$b^2+c^2 = b^2+a^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $ad-bc = 0$, $a^2+d^2 = 1$, $b^2+c^2 = 1$