(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。 (2) $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$, $ac + bd = 1$ のとき、$ad - bc$, $a^2 + d^2$, $b^2 + c^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。

(2) $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$, $ac + bd = 1$ のとき、$ad - bc$, $a^2 + d^2$, $b^2 + c^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を展開する。

$(ac+bd)^2 = (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$

$(ad-bc)^2 = (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$

これらの式を足し合わせる。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$

$= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$

$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2)

$a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$, $ac + bd = 1$ である。

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1 \times 1 = 1$

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = 1$ より、

$1^2 + (ad-bc)^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = 0$

$ad-bc = 0$

$a^2+b^2 = 1$ より $b^2 = 1-a^2$

$c^2+d^2 = 1$ より $c^2 = 1-d^2$

$ac+bd=1$ より、$ac = 1-bd$

$ad-bc = 0$ より、$ad=bc$

$a^2+d^2 = a^2 + (bc/a)^2 = a^2 + \frac{b^2 c^2}{a^2}$

$b^2+c^2 = b^2 + (ad/b)^2 = b^2 + \frac{a^2 d^2}{b^2}$

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 = 1$

$(ac+bd)^2 = a^2 c^2 + 2abcd + b^2 d^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = a^2 d^2 - 2abcd + b^2 c^2 = 0$

よって、$a^2 c^2 + 2abcd + b^2 d^2 + a^2 d^2 - 2abcd + b^2 c^2 = 1$

$a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 = 1$

$a^2 (c^2+d^2) + b^2 (c^2+d^2) = 1$

$(a^2+b^2) (c^2+d^2) = 1$

$a^2+d^2 + b^2+c^2 = a^2+b^2 + c^2+d^2 = 1+1=2$

$a^2+d^2 = a^2+d^2$

$b^2+c^2 = (1-a^2)+c^2$

$ac+bd = 1$, $ad-bc=0$

$a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$

$a^2+d^2 = 1$, $b^2+c^2 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $ad-bc=0$, $a^2+d^2=1$, $b^2+c^2=1$