(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。 (2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を因数分解せよ。

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ のとき、$ad-bc$, $a^2+d^2$, $b^2+c^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2$ を展開し、整理する。

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac)^2 + 2acbd + (bd)^2 + (ad)^2 - 2adbc + (bc)^2$

$= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$

$= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

$= a^2(c^2+d^2) + b^2(c^2+d^2)$

$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

(2) $a^2+b^2=1$, $c^2+d^2=1$, $ac+bd=1$ が与えられている。

(1)より、$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$1^2 + (ad-bc)^2 = 1 \cdot 1$

$1 + (ad-bc)^2 = 1$

$(ad-bc)^2 = 0$

よって、$ad-bc = 0$

次に、$a^2+d^2$ と $b^2+c^2$ を求める。

$a^2+b^2 = 1$

$c^2+d^2 = 1$

$ac+bd = 1$

$ad-bc = 0$

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = 1$

$(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2adbc + b^2c^2 = 1$

$1^2+0^2 = 1$

$a^2+b^2=1$ より $a^2=1-b^2$, $c^2+d^2=1$ より $d^2=1-c^2$. よって,

$a^2+d^2 = 1-b^2 + 1-c^2 = 2-(b^2+c^2)$.

また $ad-bc = 0$, $ac+bd=1$ なので, $ad = bc$.

$a^2+d^2+b^2+c^2 = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) = 1+1=2$.

$a^2+d^2 + b^2+c^2 = a^2+ (bc/a)^2 +b^2 + c^2$

$b^2+c^2=(b^2+c^2)$.

ここで、$a^2+d^2 + b^2+c^2= (a^2+b^2) + (c^2+d^2) = 1+1=2$.

$(a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2$

$(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$

$ad = bc$ なので, $a^2+d^2 = 1$, $b^2+c^2 = 1$

3. 最終的な答え

$ad-bc = 0$

$a^2+d^2 = 1$

$b^2+c^2 = 1$