(1) 多項式 $P(x)$ は $x-1$ で割り切れ、$x+3$ で割ると $-4$ 余る。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると $8$ 余り、$x+2$ で割ると $2$ 余る。$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x)$ は $x-1$ で割り切れ、$x+3$ で割ると $-4$ 余る。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると $8$ 余り、$x+2$ で割ると $2$ 余る。$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った時の余りを $ax+b$ とおく。

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

条件より、$P(1) = 0$ かつ $P(-3) = -4$ である。

$P(1) = a(1)+b = a+b = 0$

$P(-3) = a(-3)+b = -3a+b = -4$

この連立方程式を解く。

$a+b = 0$ より $b = -a$ 。

$-3a + (-a) = -4$

$-4a = -4$

$a = 1$

$b = -1$

したがって、余りは $x-1$。

(2) $P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

$P(x) = (x^2+x-2)Q(x) + ax+b$ と表せる。

$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ なので、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax+b$ と表せる。

条件より、$P(1) = 8$ かつ $P(-2) = 2$ である。

$P(1) = a(1)+b = a+b = 8$

$P(-2) = a(-2)+b = -2a+b = 2$

この連立方程式を解く。

$a+b = 8$ より $b = 8-a$

$-2a + (8-a) = 2$

$-3a + 8 = 2$

$-3a = -6$

$a = 2$

$b = 8-2 = 6$

したがって、余りは $2x+6$。

3. 最終的な答え

(1) $x-1$

(2) $2x+6$