与えられた式を計算して簡単にします。式は $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。式は $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7}+\sqrt{5}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{7 + \sqrt{35}}{7-5} = \frac{7 + \sqrt{35}}{2}$$

同様に、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{35}-5}{7-5} = \frac{\sqrt{35}-5}{2}$$

次に、これらの結果を元の式に代入し、計算します。

$$\frac{7 + \sqrt{35}}{2} - \frac{\sqrt{35}-5}{2} = \frac{7 + \sqrt{35} - \sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

3. 最終的な答え

6