$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$, $log_{10}7 = 0.8451$のとき、$3^{100}$は何桁の整数であり、$3^{100}$の最高位の数字を求める。

1. 問題の内容

$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$, $log_{10}7 = 0.8451$のとき、$3^{100}$は何桁の整数であり、$3^{100}$の最高位の数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3^{100}$が何桁の整数であるかを求める。$log_{10}3^{100}$を計算する。

$log_{10}3^{100} = 100 \times log_{10}3 = 100 \times 0.4771 = 47.71$

$log_{10}3^{100} = 47.71$より、$3^{100} = 10^{47.71} = 10^{47} \times 10^{0.71}$となる。

$10^{47}$は48桁の整数であり、$10^{0.71}$が$3^{100}$の最高位の数字に影響する。

ここで、$log_{10}5 = log_{10}\frac{10}{2} = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$log_{10}6 = log_{10}(2 \times 3) = log_{10}2 + log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

したがって、$log_{10}5 < 0.71 < log_{10}6$であるから、$5 < 10^{0.71} < 6$となる。

$10^{0.71}$は5より大きく6より小さい数なので、$3^{100}$の最高位の数字は5である。

$3^{100}$は$10^{47.71}$なので、整数部分が47である。よって$3^{100}$は48桁の整数である。

3. 最終的な答え

$3^{100}$は48桁の整数であり、$3^{100}$の最高位の数字は5である。