周の長さが12cmの扇形のうち、面積が最大となる場合の、半径、中心角、面積を求める。

1. 問題の内容

周の長さが12cmの扇形のうち、面積が最大となる場合の、半径、中心角、面積を求める。

2. 解き方の手順

扇形の半径を $r$、中心角を $\theta$ とすると、扇形の弧の長さは $r\theta$ で表される。

扇形の周の長さは半径2つと弧の長さの和なので、以下の式が成り立つ。

$2r + r\theta = 12$

これから $\theta$ を $r$ で表すと、

$r\theta = 12 - 2r$

$\theta = \frac{12 - 2r}{r}$

扇形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で表されるので、$\theta$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{12 - 2r}{r} = \frac{1}{2}r(12 - 2r) = 6r - r^2$

面積 $S$ を最大にする $r$ を求めるため、$S$ を $r$ で微分する。

$\frac{dS}{dr} = 6 - 2r$

$\frac{dS}{dr} = 0$ となる $r$ を求める。

$6 - 2r = 0$

$2r = 6$

$r = 3$

このとき、$\frac{d^2S}{dr^2} = -2 < 0$ なので、$r=3$ で $S$ は最大となる。

$r = 3$ を $2r + r\theta = 12$ に代入すると、

$2(3) + 3\theta = 12$

$6 + 3\theta = 12$

$3\theta = 6$

$\theta = 2$

また、面積 $S$ は $S = 6r - r^2$ で与えられ、$r=3$ なので、

$S = 6(3) - (3)^2 = 18 - 9 = 9$

3. 最終的な答え

半径: 3 cm

中心角: 2 ラジアン

面積: 9 cm$^2$