$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\cos \beta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\cos \beta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin(\alpha - \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin(\alpha - \beta)$ を求めるために、加法定理を利用する。

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値は与えられているので、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める必要がある。

まず、$\cos \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\sin \beta$ を求める。$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\sin \beta > 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin \beta = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ にそれぞれの値を代入する。

$\sin(\alpha - \beta) = (\frac{1}{3})(-\frac{1}{2}) - (\frac{2\sqrt{2}}{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{6} - \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{-1-2\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{-1 - 2\sqrt{6}}{6}$