$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるとき、$\cos\alpha = -\frac{5}{6}$, $\sin\beta = \frac{1}{7}$ のもとで、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるとき、$\cos\alpha = -\frac{5}{6}$, $\sin\beta = \frac{1}{7}$ のもとで、$\sin(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\alpha$と$\cos\beta$を求める。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\sin\alpha > 0$ であるから、

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos\beta > 0$ であるから、

$$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ の加法定理を用いる。

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$$

それぞれの値を代入する。

$$\sin(\alpha + \beta) = \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \left(-\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{4\sqrt{33}}{42} - \frac{5}{42} = \frac{4\sqrt{33} - 5}{42}$$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{33} - 5}{42}$