円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $3x + y + k = 0$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $3x + y + k = 0$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が接する条件は、円の中心から直線までの距離が円の半径に等しいことです。

円 $x^2 + y^2 = 10$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{10}$ です。

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題の場合、$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 3$, $b = 1$, $c = k$ なので、円の中心から直線までの距離は

$d = \frac{|3(0) + 1(0) + k|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

円と直線が接するとき、$d = \sqrt{10}$ となるので、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$|k| = 10$

したがって、$k = 10$ または $k = -10$

3. 最終的な答え

$k = 10, -10$