## (2) 問題の内容
平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとする。BDとAE, ACの交点をそれぞれP, Qとする。三角形APDの面積をSとするとき、四角形CEPQの面積をSを用いて表す。
## 解き方の手順
1. **相似な三角形の発見:**
三角形APDと三角形EPBに着目する。AD//BCより、AD//BEであるから、三角形APDと三角形EPBは相似である。
2. **相似比の計算:**
EはCDの中点であるから、DE:EC = 1:1。また、AD = BCより、AD:EC = 2:1。したがって、三角形APDと三角形EPBの相似比は、AD:EB = 2:1となる。
3. **面積比の計算:**
相似比が2:1であるから、面積比は(2^2):(1^2) = 4:1。よって、三角形EPBの面積はS/4となる。
4. **面積の分割:**
三角形ABCの面積は平行四辺形ABCDの面積の半分である。平行四辺形ABCDの面積をXとすると、三角形ABCの面積はX/2。また、AQ:QC = AP:PE = 2:1なので、三角形ABQの面積は(2/3) * (X/2) = X/3。同様に、三角形PBCの面積は(1/3) * (X/2) = X/6。
5. **三角形AQCの面積:**
三角形AQCの面積は三角形ABCの面積 - 三角形ABQの面積 = X/2 - X/3 = X/6。
6. **三角形CEQの面積:**
三角形CEQの面積は三角形AQCの面積の半分であるから、(1/2) * (X/6) = X/12。
7. **四角形CEPQの面積:**
四角形CEPQの面積 = 三角形CEQの面積 + 三角形EPBの面積 = X/12 + S/4。ここでXをSで表す必要がある。
8. **平行四辺形の面積とSの関係:**
三角形ABDの面積 = 三角形ABCの面積 = X/2。また、三角形APDの面積Sは、三角形ABDの面積の2/3 * 2/3= 4/9倍である。（AQ:QC = AP:PE=2:1より、AP:AE = 2/3、AP:AD = 2/3)
したがって、S = (4/9) * (X/2) = (2/9) * Xとなる。これから、X = (9/2) * Sが得られる。
9. **四角形CEPQの面積をSで表す:**
四角形CEPQの面積 = X/12 + S/4 = ((9/2) * S) / 12 + S/4 = (9/24) * S + (6/24) * S = (15/24) * S = (5/8) * S
## 最終的な答え
四角形CEPQの面積は、(5/8)S
## (3) 問題の内容
円錐Vの頂点Oから底面に下ろした垂線の足をHとする。線分OHを三等分する2点をそれぞれ通り、底面に平行な平面で円錐を切断したときにできる立体を、頂点に近い順にP, Q, Rとする。
(i) P, Q, Rの体積比を求めよ。
(ii) Rの体積が38πのとき、Qの体積を求めよ。
## 解き方の手順
**(i) P, Q, Rの体積比**
1. **相似比:**
円錐を三等分する平面で切断したとき、小さい円錐から順に、高さの比は1:2:3となる。相似な立体の体積比は相似比の3乗に等しい。
2. **体積比:**
小さい円錐P, 中くらいの円錐（P+Q）, 大きい円錐（P+Q+R）の体積比は、1^3 : 2^3 : 3^3 = 1:8:27となる。
3. **P, Q, Rの体積比:**
Pの体積 = 1
Qの体積 = 8 - 1 = 7
Rの体積 = 27 - 8 = 19
したがって、P:Q:R = 1:7:19
**(ii) Rの体積が38πのとき、Qの体積**
1. **比例式の作成:**
Rの体積が38πであるとき、Qの体積を求める。P:Q:R = 1:7:19より、Q/R = 7/19。
2. **Qの体積の計算:**
Q = (7/19) * R = (7/19) * 38π = 14π
## 最終的な答え
(i) P:Q:R = 1:7:19
(ii) Qの体積 = 14π