原点を中心とする半径1の円を用いて、与えられた角度の正弦（sin）、余弦（cos）、正接（tan）の値を求める。 (1) $\frac{7}{6}\pi$ (2) $-\frac{13}{4}\pi$

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円を用いて、与えられた角度の正弦（sin）、余弦（cos）、正接（tan）の値を求める。

(1) $\frac{7}{6}\pi$

(2) $-\frac{13}{4}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{7}{6}\pi$ の場合

$\frac{7}{6}\pi = \pi + \frac{1}{6}\pi$であるから、$\frac{7}{6}\pi$は第3象限の角である。

単位円上で考えると、$\frac{7}{6}\pi$の動径と単位円との交点の座標は$(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$となる。

したがって、

$\sin(\frac{7}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{7}{6}\pi) = \frac{\sin(\frac{7}{6}\pi)}{\cos(\frac{7}{6}\pi)} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $-\frac{13}{4}\pi$ の場合

$-\frac{13}{4}\pi = -\frac{12}{4}\pi - \frac{1}{4}\pi = -3\pi - \frac{1}{4}\pi = -2\pi - \pi - \frac{1}{4}\pi = -2\pi - \frac{5}{4}\pi$である。

$- \frac{13}{4}\pi$ は $- \frac{5}{4}\pi$ と同じ位置にあるので、$\frac{3}{4}\pi$の符号を反転した角である。

したがって、

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \sin(-\frac{5}{4}\pi) = \sin(\frac{3}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = \cos(-\frac{5}{4}\pi) = \cos(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sin(-\frac{13}{4}\pi)}{\cos(-\frac{13}{4}\pi)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{6}\pi$

$\sin(\frac{7}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{7}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{7}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $-\frac{13}{4}\pi$

$\sin(-\frac{13}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{13}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{13}{4}\pi) = -1$