半径3の円Cの中心が(3, 3)にあり、C上の定点Pがy軸との接点にある。この状態からCがx軸上を正の方向に滑らずに$\theta$だけ回転したとき、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

## 問題42

1. 問題の内容

半径3の円Cの中心が(3, 3)にあり、C上の定点Pがy軸との接点にある。この状態からCがx軸上を正の方向に滑らずに$\theta$だけ回転したとき、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

2. 解き方の手順

円Cがx軸上を回転するとき、点Pはサイクロイドのような軌跡を描きます。回転角が$\theta$のとき、円の中心の座標は(3+3$\theta$, 3)となります。点Pは円上の点なので、円の中心から点Pへの相対的な位置を考えます。

初期状態では、点Pは(0, 3)にあります。回転角が$\theta$のとき、点Pは円の中心から時計回りに$\theta$回転した位置にあります。円の中心を原点とした座標系で点Pの座標を考えると、

x座標: $-3\sin\theta$

y座標: $-3\cos\theta$

となります。

したがって、元の座標系での点Pの座標(x, y)は、

$x = 3 + 3\theta - 3\sin\theta$

$y = 3 - 3\cos\theta$

となります。

3. 最終的な答え

点Pの座標(x, y)は、

$x = 3 + 3\theta - 3\sin\theta$

$y = 3 - 3\cos\theta$

## 問題39 (1)

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = \cos\theta - 2\sin\theta$, $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ で与えられる2次曲線の方程式をx, yで表す。

2. 解き方の手順

与えられた式から$\cos\theta$と$\sin\theta$をx, yで表し、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$を利用します。

まず、与えられた式を整理します。

$x = \cos\theta - 2\sin\theta$ (1)

$y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ (2)

(1) x 3 + (2) x 2を計算すると、

$3x + 2y = 3\cos\theta - 6\sin\theta + 12\cos\theta + 6\sin\theta = 15\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{3x + 2y}{15}$

(2) - (1) x 6を計算すると、

$y - 6x = 6\cos\theta + 3\sin\theta - 6\cos\theta + 12\sin\theta = 15\sin\theta$

$\sin\theta = \frac{y - 6x}{15}$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$に代入すると、

$(\frac{3x + 2y}{15})^2 + (\frac{y - 6x}{15})^2 = 1$

$(3x + 2y)^2 + (y - 6x)^2 = 15^2 = 225$

$9x^2 + 12xy + 4y^2 + y^2 - 12xy + 36x^2 = 225$

$45x^2 + 5y^2 = 225$

$9x^2 + y^2 = 45$

$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{45} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{45} = 1$

## 問題39 (2)

1. 問題の内容

媒介変数tを用いて $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$ と表される座標平面上の曲線をCとする。Cとy軸が交わる座標平面上の点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

Cとy軸が交わる点は、$x = 0$を満たす点です。したがって、$\sin 2t = 0$となるtの値を求め、そのtの値に対応するyの値を求めます。

$\sin 2t = 0$より、$2t = n\pi$ ($n$は整数)

$t = \frac{n\pi}{2}$

$y = \sin 5t = \sin(\frac{5n\pi}{2})$

$n$を整数として変化させると、yの値は周期的になります。$\sin$の周期は$2\pi$なので、$n$を8増やすと$5t = \frac{5(n+8)\pi}{2} = \frac{5n\pi}{2} + 20\pi$となり、$\sin$の値は同じになります。したがって、$n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$についてyの値を調べれば十分です。

$n=0$のとき $t=0$, $y=\sin 0 = 0$

$n=1$のとき $t=\frac{\pi}{2}$, $y=\sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n=2$のとき $t=\pi$, $y=\sin 5\pi = 0$

$n=3$のとき $t=\frac{3\pi}{2}$, $y=\sin \frac{15\pi}{2} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$n=4$のとき $t=2\pi$, $y=\sin 10\pi = 0$

$n=5$のとき $t=\frac{5\pi}{2}$, $y=\sin \frac{25\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n=6$のとき $t=3\pi$, $y=\sin 15\pi = 0$

$n=7$のとき $t=\frac{7\pi}{2}$, $y=\sin \frac{35\pi}{2} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

yの値は0, 1, -1を繰り返しています。したがって、異なるyの値は3つです。

3. 最終的な答え

3個