半径3の円Cの中心は、はじめ(3,3)にあり、C上の定点PはCとy軸との接点にある。この位置からCがx軸上を正の方向に滑らずに$\theta$だけ回転したときの、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

1. 問題の内容

半径3の円Cの中心は、はじめ(3,3)にあり、C上の定点PはCとy軸との接点にある。この位置からCがx軸上を正の方向に滑らずに$\theta$だけ回転したときの、点Pの座標(x, y)を$\theta$を用いて表す。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

2. 解き方の手順

まず、円の中心の移動を考える。円Cがx軸上を$\theta$だけ回転したとき、円の中心はx軸方向に$3\theta$だけ移動する。したがって、回転後の円の中心の座標は $(3+3\theta, 3)$ となる。

次に、点Pの移動を考える。回転前の点Pの座標は(3, 0)である。円が$\theta$だけ回転したとき、点Pは円の中心を中心に反時計回りに$\theta$回転する。点Pの回転後の座標を(x', y')とすると、

$x' = 3 \cos (\frac{3\pi}{2} + \theta) = 3 \sin \theta$

$y' = 3 \sin (\frac{3\pi}{2} + \theta) = -3 \cos \theta$

となる。

したがって、回転後の点Pの座標(x, y)は、円の中心の座標と点Pの回転後の座標を足し合わせることで求められる。

$x = 3 + 3\theta + 3 \sin \theta$

$y = 3 - 3 \cos \theta$

3. 最終的な答え

点Pの座標(x, y)は、

$x = 3 + 3\theta + 3 \sin \theta$

$y = 3 - 3 \cos \theta$