0から9までの数字を指すルーレットを3回回すゲームにおいて、出た目の合計が10の倍数（0, 10, 20, 30）となる確率を求める問題。ただし、0が出た場合はスタート地点に戻る（0が出た回数は合計に含めない）。

1. 問題の内容

0から9までの数字を指すルーレットを3回回すゲームにおいて、出た目の合計が10の倍数（0, 10, 20, 30）となる確率を求める問題。ただし、0が出た場合はスタート地点に戻る（0が出た回数は合計に含めない）。

2. 解き方の手順

* ルーレットを1回回したとき、0が出る確率は $\frac{1}{10}$、0以外の数字が出る確率は $\frac{9}{10}$。

* 3回ルーレットを回して合計が10の倍数になる場合を考える。0が出た場合はその回はカウントしないので、0が出た回数によって場合分けする。

* **0が3回出る場合:** 合計は0。確率は $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

* **0が2回、0以外の数字が1回出る場合:** 0以外の数字は何でも良い。確率は ${}_3C_2 \times (\frac{1}{10})^2 \times \frac{9}{10} = 3 \times \frac{9}{1000} = \frac{27}{1000}$

* **0が1回、0以外の数字が2回出る場合:** 0以外の数字2回の合計が10の倍数である必要がある。2つの数字の組み合わせは(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1) の9通り。確率は ${}_3C_1 \times \frac{1}{10} \times \frac{9}{10} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{10}= 3 \times \frac{1}{10} \times \frac{9}{10} \times \frac{9}{100} = 3\times\frac{81}{10000}= \frac{243}{10000}$

* **0が0回、0以外の数字が3回出る場合:** 3つの数字の合計が10の倍数である必要がある。全事象は$9^3 = 729$通り。このうち合計が10の倍数になる場合を数えるのは少し大変なので、確率を直接計算するのは難しい。

* ここでは、3回とも0以外の目が出て、合計が10の倍数になる組み合わせを検討する。

* ルーレットの出目を$x, y, z$とすると、$x+y+z = 10k$ ($k$は整数)となる場合を探す。ただし、$1 \le x,y,z \le 9$。このとき、$3 \le x+y+z \le 27$なので、$k=1,2$となる場合、$x+y+z = 10, 20$となる場合を考えれば良い。

$x+y+z = 10$となる組み合わせは

(1,1,8) (1,2,7) (1,3,6) (1,4,5)

(2,2,6) (2,3,5) (2,4,4)

(3,3,4)

これらの順列を考える。

(1,1,8): 3通り

(1,2,7): 6通り

(1,3,6): 6通り

(1,4,5): 6通り

(2,2,6): 3通り

(2,3,5): 6通り

(2,4,4): 3通り

(3,3,4): 3通り

合計 3+6+6+6+3+6+3+3=36通り。

$x+y+z = 20$となる組み合わせは

(2,9,9) (3,8,9) (3,9,8) (4,7,9) (4,8,8) (4,9,7)

(5,6,9) (5,7,8) (5,8,7) (5,9,6)

(6,6,8) (6,7,7) (6,8,6)

(7,7,6) (7,6,7)(7,8,5)(7,9,4)

(8,8,4) (8,7,5) (8,6,6) (8,3,9)

(9,9,2) (9,8,3) (9,7,4) (9,6,5) (9,5,6)(9,4,7) (9,3,8)(9,2,9)

(9,9,2): 3通り

(3,8,9)など: 6通りが6個 + 3通りが2個+6が2個+3

(3,8,9), (4,7,9), (5,6,9), (5,7,8),(6,6,8),(6,7,7),(8,8,4),(9,9,2)

3+6*6+3+3 = 3+36+3+3= 45

順列を考慮すると45通り。

よって、36+45 = 81通り

確率は $\frac{81}{9^3} = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$

この確率は $\frac{1}{9} = \frac{81}{729}= \frac{810}{7290}$

* 合計の確率は $\frac{1}{1000} + \frac{27}{1000} + \frac{243}{10000} + \frac{729}{1000} * \frac{81}{729} \frac{1}{9}$

$\frac{1}{1000} + \frac{27}{1000} + 3 * \frac{1}{10} \times (\frac{9}{10})^2* \frac{9}{100}+ (\frac{9}{10})^3* \frac{1}{9} = \frac{28}{1000}+ \frac{243}{10000} + \frac{1}{9}*\frac{729}{1000}=\frac{28}{1000} + \frac{243}{10000}+\frac{81}{1000} = \frac{280}{10000}+\frac{243}{10000}+\frac{810}{10000} = \frac{1333}{10000}$

しかし、上記は間違い。

正しくは、

全事象は$10^3 = 1000$通り

合計が0になるのは0,0,0の1通り

合計が10になるのは(0を含んで良い)

0+1+9

0+2+8

0+3+7

0+4+6

0+5+5

1+2+7... 123 345 550 ... etc

計算が大変。

$133/1000$

3回のルーレットの結果が10の倍数になる確率は $\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$である。

3. 最終的な答え

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