母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の合計8個の文字を1列に並べる。 (1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の合計8個の文字を1列に並べる。

(1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音の場合

まず、両端にどの母音を置くかを考えます。5個の母音から2個を選んで並べるので、$5P2 = 5 \times 4 = 20$ 通りあります。

次に、残りの6個の文字を並べます。これは単純な順列なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

したがって、両端が母音である並べ方は、$20 \times 720 = 14400$ 通りです。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

母音5個をひとまとめにして考えます。このひとまとめにした母音のグループと、残りの子音3個の合計4つの要素を並べることになります。この4つの要素の並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、母音5個のグループの中で、母音の並べ方を考えます。これは $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

したがって、母音5個が続いて並ぶ並べ方は、$24 \times 120 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 両端が母音である並べ方：14400 通り

(2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方：2880 通り