領域 $R = \{0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2 \}$ 上で、二重積分 $\iint_R x^2y \, dxdy$ を、$x$ について積分してから $y$ で積分して求めよ。

1. 問題の内容

領域 $R = \{0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2 \}$ 上で、二重積分 $\iint_R x^2y \, dxdy$ を、$x$ について積分してから $y$ で積分して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について積分します。

$\int_0^1 x^2y \, dx = y \int_0^1 x^2 \, dx = y \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = y \left( \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 \right) = \frac{1}{3}y$

次に、$y$ について積分します。

$\int_1^2 \frac{1}{3}y \, dy = \frac{1}{3} \int_1^2 y \, dy = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{2}(1)^2 \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2}$

したがって、二重積分の値は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$