次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$3S$ を計算する。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

次に、$S - 3S$ を計算する。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2) + \cdots + (n \cdot 3^{n-1} - (n-1) \cdot 3^{n-1}) - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

等比数列の和の公式を用いて、 $1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ を計算する。

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{4}$

$S = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$