実数 $a, b$ を用いて定義される3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ が極大値と極小値を持つための $a, b$ の条件を求める。 (2) (1)の条件が成り立つとき、$f(x)$ の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しくなるための $a, b$ の条件を求める。 (3) (1)と(2)の条件を同時に満たす実数の組 $(a, b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示する。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ を用いて定義される3次関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ が極大値と極小値を持つための $a, b$ の条件を求める。

(2) (1)の条件が成り立つとき、$f(x)$ の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しくなるための $a, b$ の条件を求める。

(3) (1)と(2)の条件を同時に満たす実数の組 $(a, b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極大値と極小値を持つための条件を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b$

$f(x)$ が極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

したがって、$f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$ となる必要がある。

$D = (6a)^2 - 4(3)(3b) = 36a^2 - 36b > 0$

$a^2 - b > 0$

$b < a^2$

(2) (1)の条件 $b < a^2$ が成り立つとき、$f(x)$ の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しくなるための $a, b$ の条件を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b = 0$ の解を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ とすると、

$x = \alpha$ で極大、$x = \beta$ で極小となる。

$f(x)$ の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しいとき、$f(\alpha) = -f(\beta)$ となる。

このとき、$f(\alpha) + f(\beta) = 0$

$f(\alpha) + f(\beta) = \alpha^3 + 3a\alpha^2 + 3b\alpha + \beta^3 + 3a\beta^2 + 3b\beta = 0$

$(\alpha^3 + \beta^3) + 3a(\alpha^2 + \beta^2) + 3b(\alpha + \beta) = 0$

$(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) + 3a\{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\} + 3b(\alpha + \beta) = 0$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a, \alpha\beta = b$

$(-2a)^3 - 3b(-2a) + 3a\{(-2a)^2 - 2b\} + 3b(-2a) = 0$

$-8a^3 + 6ab + 3a(4a^2 - 2b) - 6ab = 0$

$-8a^3 + 12a^3 - 6ab = 0$

$4a^3 = 0$ または $4a^3 - 6ab = 0$

$4a^3 - 6ab = 2a(2a^2 - 3b) = 0$

$a = 0$ または $2a^2 = 3b$

$b = \frac{2}{3}a^2$

(3) (1)と(2)の条件を同時に満たす実数の組 $(a, b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示する。

(1) $b < a^2$

(2) $a = 0$ または $b = \frac{2}{3}a^2$

$a = 0$ のとき、$b < 0$

$b = \frac{2}{3}a^2$ のとき、$\frac{2}{3}a^2 < a^2$ は常に成立。

したがって、求める領域は、$a = 0$ かつ $b < 0$ または $b = \frac{2}{3}a^2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $b < a^2$

(2) $a = 0$ または $b = \frac{2}{3}a^2$

(3) $a=0$ かつ $b<0$、または $b = \frac{2}{3}a^2$