与えられた積分 $\int x^2 e^{-x^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 e^{-x^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

$u = -x^3$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -3x^2$ となります。

したがって、$dx = \frac{du}{-3x^2}$ となります。

これを与えられた積分に代入すると、

$\int x^2 e^u \frac{du}{-3x^2} = \int -\frac{1}{3} e^u du$

となります。

次に、$-\frac{1}{3} e^u$ を積分すると、

$-\frac{1}{3} e^u + C$ となります。

最後に、$u$ を $-x^3$ に戻すと、

$-\frac{1}{3} e^{-x^3} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} e^{-x^3} + C$