与えられた積分 $\int xe^{-2x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int xe^{-2x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解くことができます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = x$ 、$dv = e^{-2x} dx$ とします。

すると、$du = dx$ となり、$v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

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\int xe^{-2x} dx = x \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) dx

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= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx

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= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) + C

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= -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C

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= -\frac{1}{4}e^{-2x}(2x + 1) + C

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3. 最終的な答え

$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{4}e^{-2x}(2x + 1) + C$