$a=3, b=6$ とし、$h(x) = f(x) + g(x)$ とする。 $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値を考えます。ここで、$t = 8^x$ とおき、$h(x)$ を $t$ で表すこと、$x$ が $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲を動くときの $t$ の取り得る値の範囲を調べ、$h(x)$ の最小値を求めます。さらに、$h(x)$ が取り得る値のうち最小の整数を求め、$h(x)$ がその値となる $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a=3, b=6$ とし、$h(x) = f(x) + g(x)$ とする。 $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値を考えます。ここで、$t = 8^x$ とおき、$h(x)$ を $t$ で表すこと、$x$ が $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲を動くときの $t$ の取り得る値の範囲を調べ、$h(x)$ の最小値を求めます。さらに、$h(x)$ が取り得る値のうち最小の整数を求め、$h(x)$ がその値となる $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$2^{3x}$ と $2^{6x}$ を求めます。

$t = 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ なので、$2^{3x} = t$ です。

$2^{6x} = (2^{3x})^2 = (8^x)^2 = t^2$ なので、$2^{6x} = t^2$ です。

次に、$x$ が $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ を動くときの $t = 8^x$ の範囲を求めます。

$x = -1$ のとき、$t = 8^{-1} = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$t = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

よって、$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ となります。

$a = 3, b = 6$ より、$f(x) = 2^{3x}, g(x) = 2^{6x}$ なので、

$h(x) = f(x) + g(x) = 2^{3x} + 2^{6x} = t + t^2$ です。

$h(x) = t^2 + t = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ なので、これは $t$ の二次関数で、軸は $t = -\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ における $h(x)$ の最小値を求めます。

$t = \frac{1}{8}$ のとき、$h(x) = (\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{64} + \frac{8}{64} = \frac{9}{64}$

$t = 2\sqrt{2}$ のとき、$h(x) = (2\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} = 8 + 2\sqrt{2}$

$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ の範囲では、$t=\frac{1}{8}$の時が最小になるので、$h(x)$の最小値は$t=\frac{1}{8}$の時である。

$h(x) = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$t = \frac{1}{8}$ のとき、$h(x) = (\frac{1}{8} + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = (\frac{5}{8})^2 - \frac{1}{4} = \frac{25}{64} - \frac{16}{64} = \frac{9}{64}$

$h(x)$の最小値は $\frac{9}{64}$ です。

$\frac{9}{64} \approx 0.14$なので、この範囲で$h(x)$がとり得る最小の整数値は $1$ です。

$h(x) = 1$ となる $x$ を求めます。

$t^2 + t = 1$

$t^2 + t - 1 = 0$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t > 0$ より、$t = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$8^x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x = \log_8 \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \log_8 \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

3. 最終的な答え

カ: t

キ: t^2

ク: 1

ケ: 8

コ: 2

サ: √2

シ: 9

ス: /

セ: 64

ソタ: 1

チツ: 5

テ: -1