関数 $y = \int_x^{x^2} \log t \, dt$ （ただし $x > 0$ ）を $x$ について微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \int_x^{x^2} \log t \, dt$ （ただし $x > 0$ ）を $x$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \log t \, dt$ を求める。部分積分を行う。

$u = \log t$, $dv = dt$ とおくと、

$du = \frac{1}{t} \, dt$, $v = t$

よって、

$\int \log t \, dt = t \log t - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \log t - \int dt = t \log t - t + C$

ここで、 $F(t) = t \log t - t$ とおく。

すると、

$y = \int_x^{x^2} \log t \, dt = F(x^2) - F(x)$

$= (x^2 \log (x^2) - x^2) - (x \log x - x)$

$= x^2 (2 \log x) - x^2 - x \log x + x$

$= 2x^2 \log x - x^2 - x \log x + x$

$x$ で微分する。

$\frac{dy}{dx} = 2(2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x}) - 2x - (\log x + x \cdot \frac{1}{x}) + 1$

$= 4x \log x + 2x - 2x - \log x - 1 + 1$

$= 4x \log x - \log x$

$= (4x - 1) \log x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (4x - 1) \log x$