$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲における関数$h(x)$の最小値について考える。$t = 8^x$とおいたとき、$8^{3x} = t^{\frac{3}{1}} = t^3$、$8^{6x} = (8^x)^6 = t^6$. $h(x)$を$t$を用いて表す。また、$x$が$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき、$t$のとり得る値の範囲を求める。そして$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$における$h(x)$の最小値を求める。最後に$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲において、$h(x)$がとり得る値のうち、最小の整数を求め、$h(x) =$ その最小の整数を満たす$x$の値を求める。

1. 問題の内容

$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲における関数$h(x)$の最小値について考える。$t = 8^x$とおいたとき、$8^{3x} = t^{\frac{3}{1}} = t^3$、$8^{6x} = (8^x)^6 = t^6$. $h(x)$を$t$を用いて表す。また、$x$が$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき、$t$のとり得る値の範囲を求める。そして$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$における$h(x)$の最小値を求める。最後に$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲において、$h(x)$がとり得る値のうち、最小の整数を求め、$h(x) =$ その最小の整数を満たす$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = 8^x$とおくと、$8^{3x}$と$8^{6x}$を$t$で表す。

$8^{3x} = (8^x)^3 = t^3$だから、カは3。

$2 \cdot 8^{6x} = 2(8^x)^6 = 2t^6$だから、キは6。

次に、$x$が$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$を動くときの$t$の取り得る値の範囲を求める。

$t = 8^x$であり、$8^{-1} \leq 8^x \leq 8^{\frac{1}{2}}$なので、$8^{-1} = \frac{1}{8} \leq t \leq 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

よって、クは1、ケは8、コは2、サは2。

$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$における$h(x) = t^3 + 2t^6$の最小値を求める。

$h(x) = t^3 + 2t^6$である。$x = -1$のとき、$t = \frac{1}{8}$なので、$h(x) = (\frac{1}{8})^3 + 2(\frac{1}{8})^6 = \frac{1}{512} + \frac{2}{262144} = \frac{1}{512} + \frac{1}{131072}$.

$x = \frac{1}{2}$のとき、$t = 2\sqrt{2}$なので、$h(x) = (2\sqrt{2})^3 + 2(2\sqrt{2})^6 = (8 \cdot 2\sqrt{2}) + 2(64 \cdot 8) = 16\sqrt{2} + 1024$.

ここで、$h(x)=t^3+2t^6$の最小値を求めるのは難しいので、問題文をよく読む。

$f(x) = 8^{3x}$, $g(x) = 2 \cdot 8^{6x}$. $h(x) = f(x) + g(x)$となる。

$t = 8^x$より、$h(t) = t^3 + 2t^6$である。

$t=8^x$について、$-1 \le x \le \frac{1}{2}$なので、$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$である。

$h'(t) = 3t^2 + 12t^5 = 3t^2(1 + 4t^3)$. $h'(t)$は$t>0$において常に正である。

よって、$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$において、$t = \frac{1}{8}$で最小値を取る。

$t = \frac{1}{8}$のとき、$h(x) = (\frac{1}{8})^3 + 2 (\frac{1}{8})^6 = \frac{1}{512} + 2 \frac{1}{262144} = \frac{1}{512} + \frac{1}{131072} = \frac{256 + 1}{131072} = \frac{257}{131072}$。

よって、シは2、スは5、セは7。

$-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$の範囲において$h(x)$がとり得る値のうち、最小の整数は0。

$h(x) = 0$を満たす$x$の値は$h(x) = 8^{3x} + 2 \cdot 8^{6x} = 0$となる。

これはありえないので、最小の整数は1。

よって、ソタは0。ソタは1です。

$h(x) = 1$を満たす$x$の値を求める。

$8^{3x} + 2 \cdot 8^{6x} = 1$

$t = 8^{3x}$とすると、$t + 2t^2 = 1$

$2t^2 + t - 1 = 0$

$(2t - 1)(t + 1) = 0$

$t = \frac{1}{2}$または$t = -1$。

$t>0$なので、$t = \frac{1}{2}$.

$8^{3x} = \frac{1}{2}$

$3x = \log_8 \frac{1}{2} = -\log_8 2 = -\frac{1}{3}$

$x = -\frac{1}{9}$

$x = \frac{-1}{9}$.

したがって、チは-1、テは9。

3. 最終的な答え

カ：3

キ：6

ク：1

ケ：8

コ：2

サ：2

シ：2

ス：5

セ：7

ソタ：0（もしくは１）

チ：-1

テ：9