0 ≤ θ < 2π の範囲において、以下の式(1)を満たすθについて考える問題です。 $\sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{8}{3} \cos \theta$ (1)

1. 問題の内容

0 ≤ θ < 2π の範囲において、以下の式(1)を満たすθについて考える問題です。

$\sqrt{3} \sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{8}{3} \cos \theta$ (1)

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式を用いて式変形します。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$

これらを(1)に代入すると、

$\sqrt{3} (2 \sin \theta \cos \theta) + (2 \cos^2 \theta - 1) = \frac{8}{3} \cos \theta$

$2\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta + 2 \cos^2 \theta - 1 - \frac{8}{3} \cos \theta = 0$

$\cos \theta ( \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta - \frac{4}{3}) = 0$

したがって、式(1)を満たすθは、

$\cos \theta = 0$ または $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$

$\cos \theta = 0$ を満たすθは、0 ≤ θ < 2π の範囲で２つあり、小さい順にα₁、α₂とすると

$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$

$\alpha_2 = \frac{3\pi}{2}$

(2) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = \frac{4}{3}$ を解くために、三角関数の合成を行います。

$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

したがって、

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{4}{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$

$\beta_1 + \beta_2 = \pi$ （sinの値が等しい2つの角の和）

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{3}$を満たすθは、0 ≤ θ < 2π の範囲で２つあり、小さい順にβ₁、β₂とします。

$\theta + \frac{\pi}{6} = \arcsin \frac{2}{3}, \pi - \arcsin \frac{2}{3}$

$\beta_1 = \arcsin \frac{2}{3} - \frac{\pi}{6}$

$\beta_2 = \pi - \arcsin \frac{2}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} - \arcsin \frac{2}{3}$

$\frac{\pi}{6} \approx 0.523$

$\arcsin \frac{2}{3} \approx 0.730$

$\beta_1 \approx 0.730 - 0.523 = 0.207$

$\beta_2 \approx \frac{5\pi}{6} - 0.730 = 2.618 - 0.730 = 1.888$

$\alpha_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$

$\alpha_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712$

したがって、大小関係は、$\beta_1 < \alpha_1 < \beta_2 < \alpha_2$ となります。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：1

エ：√3

オ：4/3

カ：2

キ：3

ク：2

ケ：2

コ：π/6

サ：2

シ：3

ス：π

セ：6

ソ：②