$\lim_{x \to \infty} \{ \sqrt{3x^2+4x+7} - (ax+b) \} = 0$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \{ \sqrt{3x^2+4x+7} - (ax+b) \} = 0$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3x^2+4x+7}$ を $x$ が大きいところで近似することを考えます。

$\sqrt{3x^2+4x+7} = \sqrt{3}x \sqrt{1 + \frac{4}{3x} + \frac{7}{3x^2}}$ と変形できます。

$x \to \infty$ のとき $\frac{4}{3x}$ および $\frac{7}{3x^2}$ は 0 に近づくので、$\sqrt{1 + \frac{4}{3x} + \frac{7}{3x^2}} \approx 1 + \frac{1}{2} (\frac{4}{3x} + \frac{7}{3x^2}) = 1 + \frac{2}{3x} + \frac{7}{6x^2}$ と近似できます。

すると、

$\sqrt{3x^2+4x+7} \approx \sqrt{3}x (1 + \frac{2}{3x} + \frac{7}{6x^2}) = \sqrt{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{6x}$

となります。

$\lim_{x \to \infty} \{ \sqrt{3x^2+4x+7} - (ax+b) \} = 0$ より、$\sqrt{3}x$ と $ax$ の係数が等しくなければなりません。したがって、$a = \sqrt{3}$ です。

$\lim_{x \to \infty} \{ \sqrt{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{6x} - (\sqrt{3}x+b) \} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \{ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{6x} - b \} = 0$

$\frac{2\sqrt{3}}{3} - b = 0$

よって、$b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{3}$

$b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$