与えられた極限値を求める問題です。具体的には、 (1) $\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x)$ (2) $\lim_{x \to \infty} (a^x - b^x) \quad (a > 1, b > 1)$ の2つの極限値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、

(1) $\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x)$

(2) $\lim_{x \to \infty} (a^x - b^x) \quad (a > 1, b > 1)$

の2つの極限値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x)$ の場合：

$a$ の値によって場合分けを行います。

* $a = 2$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (2^x - 2^x) = \lim_{x \to \infty} 0 = 0$

* $a > 2$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x) = \lim_{x \to \infty} a^x \left( \left( \frac{2}{a} \right)^x - 1 \right)$. ここで、$a > 2$ より $0 < \frac{2}{a} < 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{a} \right)^x = 0$ となります。したがって、$\lim_{x \to \infty} a^x \left( \left( \frac{2}{a} \right)^x - 1 \right) = \lim_{x \to \infty} a^x (0 - 1) = -\infty$

* $1 < a < 2$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x) = \lim_{x \to \infty} 2^x \left( 1 - \left( \frac{a}{2} \right)^x \right)$. ここで、$1 < a < 2$ より $0 < \frac{a}{2} < 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{a}{2} \right)^x = 0$ となります。したがって、$\lim_{x \to \infty} 2^x \left( 1 - \left( \frac{a}{2} \right)^x \right) = \lim_{x \to \infty} 2^x (1 - 0) = \infty$

* $a \le 1$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (2^x - a^x) = \infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} (a^x - b^x) \quad (a > 1, b > 1)$ の場合：

$a$ と $b$ の値によって場合分けを行います。

* $a = b$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (a^x - a^x) = \lim_{x \to \infty} 0 = 0$

* $a > b > 1$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (a^x - b^x) = \lim_{x \to \infty} a^x \left( 1 - \left( \frac{b}{a} \right)^x \right)$. ここで、$a > b$ より $0 < \frac{b}{a} < 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{b}{a} \right)^x = 0$ となります。したがって、$\lim_{x \to \infty} a^x \left( 1 - \left( \frac{b}{a} \right)^x \right) = \lim_{x \to \infty} a^x (1 - 0) = \infty$

* $b > a > 1$ のとき：$\lim_{x \to \infty} (a^x - b^x) = \lim_{x \to \infty} b^x \left( \left( \frac{a}{b} \right)^x - 1 \right)$. ここで、$b > a$ より $0 < \frac{a}{b} < 1$ なので、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{a}{b} \right)^x = 0$ となります。したがって、$\lim_{x \to \infty} b^x \left( \left( \frac{a}{b} \right)^x - 1 \right) = \lim_{x \to \infty} b^x (0 - 1) = -\infty$

3. 最終的な答え

(1)

* $a = 2$ のとき、0

* $a > 2$ のとき、$-\infty$

* $1 < a < 2$ のとき、$\infty$

* $a \le 1$ のとき、$\infty$

(2)

* $a = b$ のとき、0

* $a > b > 1$ のとき、$\infty$

* $b > a > 1$ のとき、$-\infty$