与えられた定積分 $\int_{1}^{2} x \log(x+1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{1}^{2} x \log(x+1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log(x+1)$ と $dv = x \, dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x+1} \, dx$ と $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

よって、

$\int x \log(x+1) \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x+1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x+1} \, dx$

$\int \frac{x^2}{2(x+1)} \, dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$ なので、

$\int \frac{x^2}{2(x+1)} \, dx = \frac{1}{2} \int (x - 1 + \frac{1}{x+1}) \, dx = \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|) + C$

したがって、

$\int x \log(x+1) \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|) + C = \frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log(x+1) + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} x \log(x+1) \, dx = [\frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log(x+1)]_{1}^{2}$

$= (2 \log(3) - 1 + 1 - \frac{1}{2} \log(3)) - (\frac{1}{2} \log(2) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log(2))$

$= \frac{3}{2} \log(3) - (\frac{1}{2} \log(2) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log(2))$

$= \frac{3}{2} \log(3) - (-\frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

$= \frac{3}{2} \log(3) - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}\log(3) - \frac{1}{4}$