問題は、与えられた範囲 $0 \le x \le \pi$ において、以下の2つの三角関数の最大値、最小値、およびそれらをとるときの $x$ の値を求めることです。 (1) $y = \sin x + 1$ (2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

1. 問題の内容

問題は、与えられた範囲 $0 \le x \le \pi$ において、以下の2つの三角関数の最大値、最小値、およびそれらをとるときの $x$ の値を求めることです。

(1) $y = \sin x + 1$

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x + 1$

$0 \le x \le \pi$ において、$\sin x$ の取りうる値の範囲は $0 \le \sin x \le 1$ です。

したがって、$y = \sin x + 1$ の取りうる値の範囲は $1 \le y \le 2$ です。

- 最大値：$\sin x = 1$ のとき、$y = 1 + 1 = 2$。このとき、$x = \frac{\pi}{2}$。

- 最小値：$\sin x = 0$ のとき、$y = 0 + 1 = 1$。このとき、$x = 0$ または $x = \pi$。

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

$0 \le x \le \pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ です。

この範囲において、$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の取りうる値の範囲は $-1/2 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$ です。

したがって、$y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$ の取りうる値の範囲は $-2 \le y \le 1$ です。

- 最大値：$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$。このとき、$x + \frac{\pi}{3} = 0, 2\pi, ...$。$x + \frac{\pi}{3} = 2\pi$となる場合、$x=\frac{5\pi}{3}$なので、$x + \frac{\pi}{3} = 0$の場合を考え、 $x = -\frac{\pi}{3}$　範囲に含まれない。範囲は$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$なので、$x + \frac{\pi}{3} = 0$　は不可。

$x + \frac{\pi}{3} = 0$の時は$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$を満たさないため、$\cos(x+\frac{\pi}{3})$が１となるのは、$x+\frac{\pi}{3}=2\pi$。これも範囲外。$\cos(x + \frac{\pi}{3})$が1となる値は範囲外のため、確認しておく。$x+\frac{\pi}{3} = 0$となる場合、$x=-\frac{\pi}{3}$なので、$x=0$のときの$y$の値を考える。

$y=2\cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$。

- 最小値：$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1$ のとき、$y = 2(-1) - 1 = -3$。このとき、$x + \frac{\pi}{3} = \pi$。よって、$x = \frac{2\pi}{3}$。

次に、範囲の端点の時の$y$の値を考える。

$x = \pi$のとき、$y = 2\cos(\frac{4\pi}{3}) - 1 = 2(-\frac{1}{2}) - 1 = -2$。

$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の取りうる値の範囲は $-1/2 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$ではなく、 $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$が正しい。

3. 最終的な答え

(1) $y = \sin x + 1$

- 最大値：2 ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)

- 最小値：1 ($x = 0$ または $x = \pi$ のとき)

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

- 最大値：0 ($x = 0$ のとき)

- 最小値：-3 ($x = \frac{2\pi}{3}$ のとき)