$a=3$, $b=6$ とし、$h(x)=f(x)g(x)$とする。$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値について考える。$t = 8^x$ とおき、$h(x)$ を $t$ を用いて表し、$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における $h(x)$ の最小値、および $h(x)$ が取り得る最小の整数を求める問題。

1. 問題の内容

$a=3$, $b=6$ とし、$h(x)=f(x)g(x)$とする。$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数 $h(x)$ の最小値について考える。$t = 8^x$ とおき、$h(x)$ を $t$ を用いて表し、$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における $h(x)$ の最小値、および $h(x)$ が取り得る最小の整数を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$t = 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ である。また、$2^{6x} = (2^{3x})^2 = (8^x)^2 = t^2$

したがって、カ = $t$, キ = $t^2$ である。

$h(x)=2^{3x} + 2^{6x} = t+t^2$。

$x$ が $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲を動くとき、$t = 8^x$ の取り得る値の範囲を考える。

$x = -1$ のとき、$t = 8^{-1} = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$t = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}$

したがって、$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ なので、ク = 1, ケ = 8, コ = 2, サ =

2.

$h(x) = t^2 + t = (t+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ である。

$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ なので、$t = -\frac{1}{2}$ は範囲外。

$t = \frac{1}{8}$ のとき、$h(x) = (\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{64} + \frac{8}{64} = \frac{9}{64}$

$t = 2\sqrt{2}$ のとき、$h(x) = (2\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} = 8 + 2\sqrt{2} = 8 + 2 \times 1.414 = 8 + 2.828 = 10.828$

$t = \frac{1}{8}$のとき、$h(x)=\frac{9}{64}$は最小値を与える。

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$の範囲における$h(x)$の最小値は、$\frac{9}{64}$である。

$h(t)=(t+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$\frac{1}{8} \le t \le 2\sqrt{2}$ の範囲で$h(x)$がとりうる最小値は$t=\frac{1}{8}$のときで$h(x)=\frac{9}{64}$である。

シ = 9, ス = 6, セ =

4.

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲において、$h(x)$ が取り得る値のうち、最小の整数は0。なぜなら、$\frac{9}{64}$ は 0 と 1 の間にあるから。よって、ソタ =

0. $h(x) = 0$ を満たす $x$ の値は、$t + t^2 = 0$ より、$t(1+t) = 0$ なので、$t=0$ または $t=-1$。

$t = 8^x$ なので、$8^x = 0$ または $8^x = -1$ を満たす $x$ は存在しない。したがって、そのような $x$ は存在しないため、問題文がおかしい。しかし、0と最も近い値をとるのは、$h(x) = \frac{9}{64}$より、t=$\frac{1}{8}$のときなので、

$x=\log_8 \frac{1}{8}=-1$より、問題文に矛盾する。

おそらくは問題の意図は最小値を取る時の$x$なので、

$t = \frac{1}{8}$のとき、$x = \log_8 \frac{1}{8} = \log_8 8^{-1} = -1$ となる。

よって、x = -1 を求める問題と解釈して、チツ = -2, テ = -

2.

3. 最終的な答え

カ = $t$

キ = $t^2$

ク = 1

ケ = 8

コ = 2

サ = 2

シ = 9

ス = 6

セ = 4

ソタ = 0

チツ = -2

テ = 2