$h(x) = x^2 - 6x + 9$ が与えられている。 $C_1: y = h(x)$, $C_2: y = h(x+4)$ とする。 (1) $C_1$ 上の点 $(1, h(1))$ における $C_1$ の接線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。$0 \le x \le 交点のx座標$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた図形 $D$ の面積を求める。直線 $l$ によって $D$ を二つの部分に分けたとき、$l$ の上側にある部分の面積を $S_1$, $l$ の下側にある部分の面積を $S_2$ とすると、$S_1 : S_2$ を求める。

1. 問題の内容

$h(x) = x^2 - 6x + 9$ が与えられている。

$C_1: y = h(x)$, $C_2: y = h(x+4)$ とする。

(1) $C_1$ 上の点 $(1, h(1))$ における $C_1$ の接線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。$0 \le x \le 交点のx座標$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた図形 $D$ の面積を求める。直線 $l$ によって $D$ を二つの部分に分けたとき、$l$ の上側にある部分の面積を $S_1$, $l$ の下側にある部分の面積を $S_2$ とすると、$S_1 : S_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$h(1) = 1^2 - 6(1) + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$

$h'(x) = 2x - 6$

$h'(1) = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$

よって、$l$ の方程式は

$y - 4 = -4(x - 1)$

$y = -4x + 4 + 4$

$y = -4x + 8$

(2)

$C_1: y = x^2 - 6x + 9$

$C_2: y = (x+4)^2 - 6(x+4) + 9 = x^2 + 8x + 16 - 6x - 24 + 9 = x^2 + 2x + 1$

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は

$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 2x + 1$

$-6x + 9 = 2x + 1$

$8 = 8x$

$x = 1$

よって、交点の $x$ 座標は 1 である。

$D$ の面積は

$\int_0^1 ((x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_0^1 (-8x + 8) dx = [-4x^2 + 8x]_0^1 = -4(1)^2 + 8(1) - (-4(0)^2 + 8(0)) = -4 + 8 = 4$

$l: y = -4x + 8$

$S_1 : S_2 = 1 : 1$ であるから、 $S_1 = S_2$。なぜなら、直線lは区間$[0,1]$において$C_1$と$C_2$で囲まれた領域を2等分する。

3. 最終的な答え

(1) $h(1) = 4$, $h'(1) = -4$ であるから、$l$ の方程式は $y = -4x + 8$ である。

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $1$ である。$0 \le x \le 1$ の範囲において、$C_1$ と $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた図形 $D$ の面積は $4$ である。また、直線 $l$ によって $D$ を二つの部分に分けたとき、$l$ の上側にある部分の面積を $S_1$, $l$ の下側にある部分の面積を $S_2$ とすると $S_1 : S_2 = 1: 1$ である。