$\int x^2 e^x dx$ を計算せよ。つまり、$x^2 e^x$ の不定積分を求めよ。

1. 問題の内容

$\int x^2 e^x dx$ を計算せよ。つまり、$x^2 e^x$ の不定積分を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いる。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ である。

まず、$u = x^2$ 、$dv = e^x dx$ とおく。すると、$du = 2x dx$ 、$v = e^x$ となる。よって、

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$$

次に、$\int x e^x dx$ を計算する。$u = x$、$dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx$、$v = e^x$ となる。よって、

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$$

ここで、$C_1$は積分定数である。

したがって、

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

ここで、$C$は積分定数である。

3. 最終的な答え

$e^x(x^2 - 2x + 2) + C$