$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使用します。

$u = 1 - \sin x$ と置くと、$du = -\cos x \, dx$ となります。したがって、$\cos x \, dx = -du$ です。

この置換を積分に適用すると、次のようになります。

$$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du$$

$\frac{1}{u}$ の積分は $\ln |u|$ であるため、

$$-\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C$$

ここで、$u = 1 - \sin x$ を代入すると、

$$-\ln |1 - \sin x| + C$$

となります。

$\sin x$ の値は常に -1 から 1 の間なので、$1 - \sin x$ は常に非負です。したがって、絶対値記号を削除することができます。

3. 最終的な答え

$-\ln (1 - \sin x) + C$