$\sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}}$, $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$, $\cos^2{\frac{5\pi}{12}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}}$, $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$, $\cos^2{\frac{5\pi}{12}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}}$ の値を求めます。

2倍角の公式 $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$ を利用すると、$\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{1}{2}\sin{2\theta}$ となります。

よって、

$\sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$ の値を求めます。

半角の公式 $\sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \cos{\theta}}{2}$ を利用します。

$\theta = \frac{\pi}{6}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{12}$ となるため、

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{6}}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

(3) $\cos^2{\frac{5\pi}{12}}$ の値を求めます。

半角の公式 $\cos^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 + \cos{\theta}}{2}$ を利用します。

$\theta = \frac{5\pi}{6}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{5\pi}{12}$ となるため、

$\cos^2{\frac{5\pi}{12}} = \frac{1 + \cos{\frac{5\pi}{6}}}{2} = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\cos^2{\frac{5\pi}{12}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$