曲線 $y = e^x$ について、以下の条件を満たす接線の方程式を求める。 (1) 傾きが 1 である (2) 原点を通る

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x$ について、以下の条件を満たす接線の方程式を求める。

(1) 傾きが 1 である

(2) 原点を通る

2. 解き方の手順

(1) 傾きが 1 である場合

$y = e^x$ を微分すると $y' = e^x$ となる。

接線の傾きが 1 であるから、$e^x = 1$ を満たす $x$ を求める。

$e^x = 1$ より $x = 0$ となる。

このとき、$y = e^0 = 1$ なので、接点は $(0, 1)$ である。

接線の方程式は、$y - 1 = 1(x - 0)$ より $y = x + 1$ となる。

(2) 原点を通る場合

接点を $(t, e^t)$ とする。

$y = e^x$ を微分すると $y' = e^x$ となる。

接線の方程式は、$y - e^t = e^t(x - t)$ となる。

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、$0 - e^t = e^t(0 - t)$ が成り立つ。

$-e^t = -te^t$

$e^t(t - 1) = 0$

$e^t > 0$ より、$t - 1 = 0$ となるので、$t = 1$ となる。

接点は $(1, e)$ であり、接線の傾きは $e^1 = e$ である。

接線の方程式は、$y - e = e(x - 1)$ より $y = ex$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 1$

(2) $y = ex$