次の複素関数が微分可能であれば、微分して導関数 $f'(z)$ を求めよ。 (1) $f(z) = x^2 + x - y^2 + i(2xy + y)$ (2) $f(z) = e^z$ (3) $f(z) = e^x \cos y - i e^x \sin y$ (4) $f(z) = z^3 - 2z$ (5) $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の複素関数が微分可能であれば、微分して導関数 $f'(z)$ を求めよ。

(1) $f(z) = x^2 + x - y^2 + i(2xy + y)$

(2) $f(z) = e^z$

(3) $f(z) = e^x \cos y - i e^x \sin y$

(4) $f(z) = z^3 - 2z$

(5) $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$

2. 解き方の手順

(1) $f(z) = x^2 + x - y^2 + i(2xy + y)$ について。

$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ とすると、

$u(x,y) = x^2 + x - y^2$, $v(x,y) = 2xy + y$

コーシー・リーマンの関係式 $u_x = v_y$, $u_y = -v_x$ を確認する。

$u_x = 2x + 1$, $u_y = -2y$

$v_x = 2y$, $v_y = 2x + 1$

$u_x = v_y$ は成り立つ。しかし、$u_y = -v_x$ は $-2y = -2y$となり、常に成り立つ。

$f'(z) = u_x + iv_x = 2x + 1 + i(2y) = 2(x + iy) + 1 = 2z + 1$.

(2) $f(z) = e^z$ について。

$f(z) = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x \cos y + i e^x \sin y$.

$u(x,y) = e^x \cos y$, $v(x,y) = e^x \sin y$.

$u_x = e^x \cos y$, $u_y = -e^x \sin y$.

$v_x = e^x \sin y$, $v_y = e^x \cos y$.

コーシー・リーマンの関係式 $u_x = v_y$, $u_y = -v_x$ を確認する。

$e^x \cos y = e^x \cos y$, $-e^x \sin y = -e^x \sin y$ が成り立つ。

$f'(z) = u_x + iv_x = e^x \cos y + i e^x \sin y = e^x(\cos y + i \sin y) = e^{x+iy} = e^z$.

(3) $f(z) = e^x \cos y - i e^x \sin y$ について。

$u(x,y) = e^x \cos y$, $v(x,y) = -e^x \sin y$.

$u_x = e^x \cos y$, $u_y = -e^x \sin y$.

$v_x = -e^x \sin y$, $v_y = -e^x \cos y$.

コーシー・リーマンの関係式 $u_x = v_y$, $u_y = -v_x$ を確認する。

$e^x \cos y = -e^x \cos y$ は一般には成り立たない。

$-e^x \sin y = e^x \sin y$ は一般には成り立たない。

よって、微分不可能。

(4) $f(z) = z^3 - 2z$ について。

$f(z) = (x+iy)^3 - 2(x+iy) = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 - 2x - 2iy = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3 - 2x - 2iy = (x^3 - 3xy^2 - 2x) + i(3x^2y - y^3 - 2y)$.

$u(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 2x$, $v(x,y) = 3x^2y - y^3 - 2y$.

$u_x = 3x^2 - 3y^2 - 2$, $u_y = -6xy$.

$v_x = 6xy$, $v_y = 3x^2 - 3y^2 - 2$.

コーシー・リーマンの関係式 $u_x = v_y$, $u_y = -v_x$ を確認する。

$3x^2 - 3y^2 - 2 = 3x^2 - 3y^2 - 2$, $-6xy = -6xy$ が成り立つ。

$f'(z) = u_x + iv_x = 3x^2 - 3y^2 - 2 + i(6xy) = 3(x^2 - y^2 + 2ixy) - 2 = 3(x+iy)^2 - 2 = 3z^2 - 2$.

(5) $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ について。

$f(z) = \frac{1+z}{1-z} = \frac{(1+z)(1-\bar{z})}{(1-z)(1-\bar{z})} = \frac{1 - \bar{z} + z - z\bar{z}}{1 - z - \bar{z} + z\bar{z}} = \frac{1 - (x-iy) + (x+iy) - (x^2+y^2)}{1 - (x+iy) - (x-iy) + (x^2+y^2)} = \frac{1 - x + iy + x + iy - x^2 - y^2}{1 - x - iy - x + iy + x^2 + y^2} = \frac{1 - x^2 - y^2 + 2iy}{1 - 2x + x^2 + y^2}$.

$u(x,y) = \frac{1 - x^2 - y^2}{1 - 2x + x^2 + y^2}$, $v(x,y) = \frac{2y}{1 - 2x + x^2 + y^2}$.

$f'(z) = \frac{(1-z) - (1+z)(-1)}{(1-z)^2} = \frac{1 - z + 1 + z}{(1-z)^2} = \frac{2}{(1-z)^2}$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(z) = 2z + 1$

(2) $f'(z) = e^z$

(3) 微分不可能

(4) $f'(z) = 3z^2 - 2$

(5) $f'(z) = \frac{2}{(1-z)^2}$