曲線 $y = \log x$ について、次の接線の方程式を求める問題です。 (1) 傾きが $e$ である接線の方程式 (2) 原点を通る接線の方程式

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ について、次の接線の方程式を求める問題です。

(1) 傾きが $e$ である接線の方程式

(2) 原点を通る接線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 傾きが $e$ である接線の方程式

まず、曲線の微分を求めます。

$y' = \frac{1}{x}$

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きは $\frac{1}{t}$ となります。

問題より、接線の傾きは $e$ であるので、

$\frac{1}{t} = e$

$t = \frac{1}{e}$

したがって、接点の座標は $(\frac{1}{e}, \log \frac{1}{e})$ となります。

$\log \frac{1}{e} = \log e^{-1} = -\log e = -1$ なので、接点の座標は $(\frac{1}{e}, -1)$ です。

接線の方程式は、

$y - (-1) = e(x - \frac{1}{e})$

$y + 1 = ex - 1$

$y = ex - 2$

(2) 原点を通る接線の方程式

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, \log t)$ となります。

接線の傾きは $\frac{1}{t}$ です。

接線の方程式は、

$y - \log t = \frac{1}{t}(x - t)$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 - \log t = \frac{1}{t}(0 - t)$

$-\log t = -1$

$\log t = 1$

$t = e$

したがって、接点の座標は $(e, \log e) = (e, 1)$ です。

接線の方程式は、

$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$

$y - 1 = \frac{1}{e}x - 1$

$y = \frac{1}{e}x$

3. 最終的な答え

(1) 傾きが $e$ である接線の方程式: $y = ex - 2$

(2) 原点を通る接線の方程式: $y = \frac{1}{e}x$