領域 $R = \{ (x, y) | 0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2 \}$ において、二重積分 $\iint_R x^2 y \,dx\,dy$ を、$x$ について積分してから、$y$ について積分して計算する。

1. 問題の内容

領域 $R = \{ (x, y) | 0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2 \}$ において、二重積分 $\iint_R x^2 y \,dx\,dy$ を、$x$ について積分してから、$y$ について積分して計算する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について積分する。

$$\int_0^1 x^2 y \,dx = y \int_0^1 x^2 \,dx = y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = y \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{y}{3}$$

次に、$y$ について積分する。

$$\int_1^2 \frac{y}{3} \,dy = \frac{1}{3} \int_1^2 y \,dy = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$