領域 $R = \{0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2\}$ 上で、二重積分 $\iint_R x^2 y \, dx \, dy$ を、$x$ について積分した後、$y$ について積分して計算します。

1. 問題の内容

領域 $R = \{0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2\}$ 上で、二重積分 $\iint_R x^2 y \, dx \, dy$ を、$x$ について積分した後、$y$ について積分して計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について積分します。$x$ の積分範囲は $0$ から $1$ です。

$$\int_0^1 x^2 y \, dx = y \int_0^1 x^2 \, dx$$

$x^2$ の積分は $\frac{x^3}{3}$ なので、

$$y \int_0^1 x^2 \, dx = y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = y \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{3} y$$

次に、$y$ について積分します。$y$ の積分範囲は $1$ から $2$ です。

$$\int_1^2 \frac{1}{3} y \, dy = \frac{1}{3} \int_1^2 y \, dy$$

$y$ の積分は $\frac{y^2}{2}$ なので、

$$\frac{1}{3} \int_1^2 y \, dy = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$