対数微分法を用いて関数 $y=x^x$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

対数微分法を用いて関数 $y=x^x$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^x)$

対数の性質を用いて、右辺を整理します。

$\ln y = x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分になることに注意してください。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$

右辺を整理します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1)$

$y=x^x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$